Зарядка для ума: как избежать столкновения пловцов в бассейне

Попробуйте решить простую задачу.

Как избежать столкновения пловцов в бассейне, если вы плывете быстрее соседа по дорожке.

Вот вам простая задача от русской службы BBC.

Удачи!

Загадка

Иван Иванович пришел поплавать в 50-метровый бассейн. Когда он преодолел 32 метра от края бассейна, он повстречался с Василием, плывущим навстречу по соседней дорожке. И Иван Иванович, и Василий плавают с постоянной скоростью и, достигнув бортика бассейна, тут же начинают плыть обратно. Скорость Василия в полтора раза выше, чем скорость Ивана Ивановича.

Сколько существует точек на дорожке (первая в 32 м от места старта Ивана Ивановича), в которых Иван Иванович будет встречать Василия?

Ответ

Решение

Будем называть направление, в котором начал заплыв ИИ (Иван Иванович), положительным. Все расстояния будем отсчитывать от места старта ИИ.

Между двумя встречами ИИ и В (Василий) должны в сумме преодолеть 100 м. В силу соотношения скоростей 40 м из них проплывёт ИИ, а 60 - Василий.

1-я встреча: 32 м, ИИ плывет вперед;

2-я встреча: 28 м, ИИ плывет назад (ИИ проплыл 18 м вперед и 22 назад);

3-я встреча: 12 м, ИИ плывет вперед (ИИ проплыл 28 м назад и 12 вперед);

4-я встреча: 48 м, ИИ плывет назад (ИИ проплыл 38 м вперед и 2 назад);

5-я встреча: 8 м, ИИ плывет назад (ИИ проплыл 40 м назад, на отметке 40 м В обогнал ИИ);

6-я встреча пройдет в той же точке и в тех же условиях, что и первая, поэтому новых мест встречи больше не будет.

Существует более простое рассуждение, приводящее к тому же ответу.

Когда ИИ и В совместно преодолеют 500 м, они окажутся в тех же условиях, что и перед этим, так как ИИ преодолеет 2 полных бассейна туда и обратно, а В - 3. Остается разделить 500 на 100 (суммарное расстояние от встречи до встречи) и получить ответ. Однако так рассуждать не вполне корректно, потому что это рассуждение доказывает только то, что мест не больше 5, но не доказывает, что их ровно пять. Например, если первая встреча ИИ и В случится на отметке 40 м, то легко убедиться, что мест встречи было бы всего 2 (на отметках 40 м и 20 м).